Stetigkeit von Funktionen

Die Stetigkeit einer Funktion ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik, das beschreibt, wie sich Funktionen verhalten, wenn ihre Eingabewerte leicht verändert werden. Eine Funktion ist stetig, wenn kleine Änderungen im Eingabewert nur kleine Änderungen im Ausgabewert verursachen. Das bedeutet, dass der Graph der Funktion keine Sprünge, Lücken oder Unterbrechungen aufweist.

Stell dir vor, du zeichnest den Graphen einer Funktion auf ein Blatt Papier. Wenn du den Stift auf das Papier setzt und den Graphen zeichnest, ohne den Stift abzusetzen, dann ist die Funktion stetig. Ein einfaches Beispiel ist die Linie $y=2x+1$. Egal, welche $x$-Werte du wählst, die Linie ist durchgehend und glatt.

Ein praktisches Beispiel für Stetigkeit ist eine gut ausgebaute Straße. Wenn du auf dieser Straße fährst, gibt es keine plötzlichen Löcher oder Sprünge, die dich überraschen könnten. Du kannst gleichmäßig und ohne Unterbrechung weiterfahren. Eine nicht-stetige Funktion wäre wie eine Straße mit vielen Schlaglöchern oder abrupten Abbrüchen, die deine Fahrt plötzlich stoppen könnten.

Mathematisch bedeutet Stetigkeit, dass der Funktionswert $f(x)$ kontinuierlich ist und keine abrupten Veränderungen zeigt. Wenn du den Eingabewert $x$ nur geringfügig änderst, ändert sich der Ausgabewert $f(x)$ ebenfalls nur geringfügig. Dies ist eine wichtige Eigenschaft, die in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen eine zentrale Rolle spielt.